Hubáček

1. Definujte vlastní číslo. [1]

2. Formulujte a dokažte Sylvestrův zákon setrvačnosti. [4]

3. V ${\mathbb{R}}^4$ mějme dva vektory: $(1,-1,1,-1{)}^T,(0,2,0,2{)}^T$. Vypočítejte ortogonální bázi prostoru, který tyto dva vektory generují. Poté vektory doplňte na celý ${\mathbb{R}}^4$ a dopočtěte ortogonální bázi tohoto doplněného prostoru. [3]

4. Mějme definované zobrazení $D:{\mathcal{P}}^n\to {\mathcal{P}}^n$ jako derivaci. Dokažte, že $D$ je lineární zobrazení a rozhodněte zda existuje báze prostoru ${\mathcal{P}}^n$, vůči které je matice tohoto zobrazení regulární. [2]

Poznámka: ${\mathcal{P}}^n$ značí prostor všech reálných polynomů proměnné $x$ stupně nejvýše $n$.